矩陣係數積（Scalar Multiplication）
矩陣的每一個元素乘上一個固定的數值，乘完之後矩陣大小不變
aX_{m,n}=\begin{bmatrix}
a \, x_{0,0} & a \, x_{0,1} & \cdots & a \, x_{1,n-1} \\
a \, x_{1,0} & a \, x_{1,1} & \cdots & a \, x_{2,n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a \, x_{m-1,1} & a \, x_{m-1,2} & \cdots & a \, x_{m-1,n-1}
\end{bmatrix}範例：
\begin{aligned}
X=\begin{bmatrix}
1&2&3 \\
4&5&6
\end{bmatrix}
\\
2X=\begin{bmatrix}
2&4&6 \\
8&10&12
\end{bmatrix}
\end{aligned}實驗程式碼
Python
import numpy as np
X=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print(X)
X=2*X
print(X)程式輸出：
[[1 2 3]
[4 5 6]]
[[ 2 4 6]
[ 8 10 12]]
矩陣乘積（Matrix Product）
矩陣乘積為一個矩陣的所有列(橫向)向量(Row Vector)逐一與另一個矩陣的所有行(直向)向量(column vector)作向量內積所形成的矩陣。
\begin{aligned}
& Z=XY \\\\
&\begin{bmatrix}
z_{00} & z_{01} & \cdots & z_{0\,p-1}\\
z_{10} & z_{11} & \cdots & z_{1\,p-1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
z_{m-1\,0} & z_{m-1\,1} & \cdots & z_{m-1\,p-1}
\end{bmatrix}
=\\\\
& \begin{bmatrix}
x_{00} & x_{01} & \cdots & x_{0\,n-1}\\
x_{10} & x_{11} & \cdots & x_{1\,n-1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{m-1\,0} & x_{m-1\,1} & \cdots & x_{m-1\,n-1}
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
y_{00} & y_{01} & \cdots & y_{0\,p-1}\\
y_{10} & y_{11} & \cdots & y_{1\,p-1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
y_{n-1\,0} & y_{n-1\,1} & \cdots & y_{n-1\,p-1}
\end{bmatrix}
\end{aligned}矩陣Z的每個元素為：
z_{m p}= x_{m0}\times y_{0p} + x_{m1} \times y_{1p} +\cdots+ x_{m\,n-1}\times y_{n-1\,p} = \sum_{k=0}^{n-1} x_{mk} \times y_{kp} 計算範例：
\begin{aligned}
X=\begin{bmatrix}
1&2&3 \\
4&5&6
\end{bmatrix}
\\
Y=\begin{bmatrix}
5&6&7 \\
8&9&10 \\
11&12&13 \\
\end{bmatrix}
\\
\end{aligned}則矩陣乘法的結果，其矩陣第一個位置為X的第一個列向量與Y的第一個行向量的內積，也就是：
\begin{aligned}
Z_{00}=(1\; 2\; ,3 ) \cdot ( 5\;,8\; ,11 )=1\times 5+2\times 8+3\times 11=5+16+33=54
\end{aligned}類似的有：
\begin{aligned}
Z_{01}=(1\; 2\; ,3 ) \cdot ( 6\;,9\; ,12 )=1\times 6+2\times 9+3\times 12=6+18+36=60 \\
Z_{02}=(1\; 2\; ,3 ) \cdot ( 7\;,10\; ,13 )=1\times 7+2\times 10+3\times 13=7+20+39=66 \\
Z_{10}=(4\;, 5\;, 6) \cdot ( 5\;,8\; ,11 )=4\times 5+5\times 8+6\times 11=20+40+66=126 \\
\end{aligned}實驗程式碼
Python
import numpy as np
X=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
Y=np.array([[5,6,7],[8,9,10],[11,12,13]])
print(X)
print(Y)
Z=X.dot(Y)
print(Z)輸出
[[1 2 3]
[4 5 6]]
[[ 5 6 7]
[ 8 9 10]
[11 12 13]]
[[ 54 60 66]
[126 141 156]]
矩陣哈達瑪積（Matrix Hadamard Product），又稱逐元素積（Element-wise product or Point-wise product）
兩矩陣的對應元素位置相乘的結果，也會是一個矩陣。
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